Question

已知數列{a_n}為等差數列，公差d≠0，{a_n}的部分項組成下列數列：a_k1，a_k2，…，a_kn，恰為等比數列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+k₃+…+k_n．

Answer 1

分析：運用等差（比）數列的定義分別求得a_kn，然后列方程求得k_n．

解答：解：設{a_n}的首項為a₁，∵a_k1，a_k2，a_k3成等比數列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，q=

ak2

ak1

=3．
∵a_kn=a₁+（k_n-1）d，又a_kn=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
∴k₁+k₂+…+k_n=2（1+3+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n=3ⁿ-n-1．

點評：運用等差（比）數列的定義轉化為關于k_n的方程是解題的關鍵，轉化時要注意：a_kn是等差數列中的第k_n項，而是等比數列中的第n項．