Question

將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進行操作：沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱（⑦為底，①②③④為側面，⑤+⑥為水箱蓋.其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），設水箱的高為x米，容積為y立方米.

（1）寫出y關于x的函數關系式；

（2）如何設計x的大小，使得水箱的容積最大？

Answer 1

解：（1）依題意,水箱底的寬為(2-2x)米，長為=(3-x)米,

則水箱的容積y=(2-2x)(3-x)·x(0＜x＜1),即為y關于x的函數關系式.

（2）y=(2-2x)(3-x)·x=2x³-8x²+6x(0＜x＜1),

∴y′=6x²-16x+6.令y′=6x²-16x+6=0得x=,

當0＜x＜時y′＞0，函數單調遞增;

當＜x＜1時y′＜0,函數單調遞減,

∴當x=時函數y=(2-2x)(3-x)·x(0＜?x＜?1)取得最大值.

∴設計x=，水箱的容積最大.