Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區間（t，3）上總不是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數f′（x）然后在函數的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的區間為單調增區間，f′（x）＜0的區間為單調減區間．
（2）對函數求導，求出函數的單調區間，根據函數的單調區間得到若f（x）在[1，2]上不單調，只要極值點出現在這個區間就可以，得到對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，從而求m的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-a=

a(1-x)

x

（x＞0），
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）
當a＜0時，f（x）的單調增區間為（1，+∞），單調減區間為（0，1）
（2）∵函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線傾斜角為45°，
∴f′（2）=

-a

2

=1，解得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，
則函數g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因為g（x）在（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
綜上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0   g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9．
故m的取值范圍為：-

37

3

＜m＜-9．

點評：本題考查了函數的單調性，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：
（1）確定函數的定義域；
（2）求導數f′（x）；
（3）在函數的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．