Question

設函數f（x）的定義域為D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+a，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，則a的范圍是

[

13

6

，

10

3

]

．

Answer 1

分析：由題意，x∈[0，2]時，2-a≤

1

3

x3-

1

2

x2≤4-a，確定g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2的最值，即可求得a的范圍．

解答：解：由題意，x∈[0，2]時，2≤

1

3

x3-

1

2

x2+a≤4，∴2-a≤

1

3

x3-

1

2

x2≤4-a
令g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2，則g′（x）=x²-x=x（x-1）
∵x∈[0，2]，∴函數在[0，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增
∴x=1時，g（x）_min=-

1

6

∵g（0）=0，g（2）=

2

3

∴g（x）_max=

2

3

∴2-a≤-

1

6

且4-a≥

2

3

∴

13

6

≤a≤

10

3

故答案為：[

13

6

，

10

3

]

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．