Question

已知函數f(x)=x，g(x)=

1

x

（1）若h（x）=f（x）+g（x），試判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若p（x）=f（x）-g（x），試判斷p（x）在（0，+∞）上的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性的定義判斷即可．（2）利用函數單調性的定義進行判斷．

解答：解：（1）h（x）為奇函數（2分）
因為f(x)=x，g(x)=

1

x

，所以h（x）=f（x）+g（x）=x+

1

x

．
因為h(-x)=-x+

1

-x

=-h(x)，所以h（x）為奇函數．
（2）p（x）在（0，+∞）上單調遞增（2分）利用導數或單調性定義，或函數的性質均可．
因為p（x）=f（x）-g（x），所以p（x）=f（x）-g（x）=x-

1

x

．，
當x∈（0，+∞）時，函數y=x和y=-

1

x

都為增函數，所以函數p（x）在（0，+∞）上的單調遞增．
（注：寫對h(x)=x+

1

x

，p(x)=x-

1

x

各給（1分），判斷正確各給（2分），證明過程各3分）

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用定義法是解決本題的最常用的方法．