Question

（2007•楊浦區(qū)二模）在正四棱錐P-ABCD中（如圖），若異面直線PA與BC所成角的正切值為2，底面邊長(zhǎng)AB=4．
（1）求側(cè)棱與底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）要求側(cè)棱與底面ABCD所成角的大小，關(guān)鍵是找出側(cè)棱在底面ABCD上的射影．過(guò)P作斜高，則∠PAD為異面直線PA與BC所成的角，進(jìn)而可求側(cè)棱與底面ABCD所成角的大小
（2）求四棱錐P-ABCD的體積，關(guān)鍵是求出底面積與高，進(jìn)而利用公式求解．

解答：解：（1）過(guò)P作斜高PE，PO⊥底面ABCD，AD∥BC∴∠PAD為異面直線PA與BC所成的角θ且tanθ=2（3分）
在Rt△PEA中tanθ=2=

PE

AE

且AE=2所以PE=4，PA=2

5

（5分）
正四棱錐P-ABCD的高為PO=2

3

在Rt△POA中，∴sin∠PAO=

15

5

∴∠PAO=arcsin

15

5

，
側(cè)棱與底面ABCD所成角的大小為arcsin

15

5

（ 或?qū)懗?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">arccos

10

5

）      （7分）
（2）V_P--ABCD=

1

3

•42•2

3

=

32 3

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與平面所成的角，主要考查側(cè)棱與底面ABCD所成角的大小，關(guān)鍵是找出側(cè)棱在底面ABCD上的射影，考查幾何體的體積，屬于中檔題．