Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=（n∈N^*）
（1）證明：數列{}為等差數列，并求{a_n}的通項公式
（2）如果數列{}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n+1=可化為-=1，即可得到數列{}為等差數列，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法，可求數列的和．
解答：（1）證明：∵a_n+1=
∴-=1
∵a₁=1，
∴數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴=n，∴a_n=；
（2）解：=n•2ⁿ
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②可得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵．