Question

已知圓的方程是x²+y²=4，求
（1）斜率等于1的切線的方程；
（2）在y軸上截距是2

2

的切線的方程．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，
（1）由已知切線的斜率為1，設出切線的點斜式方程為y=x+b，由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，進而確定出所求切線的方程；
（2）由切線與y軸的截距，設出直線與x軸的截距為a，表示出直線的截距式方程，由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，進而確定出所求切線的方程．

解答：解：由圓的方程x²+y²=4，得出圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
（1）設斜率為1的切線方程為y=x+b，
∴圓心到y=x+b的距離d=

|b|

2

=r=2，
解得：b=±2

2

，
則所求切線方程為y=x+2

2

或y=x-2

2

；
（2）設y軸上截距是2

2

的切線的方程為

x

a

+

y

2 2

=1，即2

2

x+ay-2a

2

=0，
∴圓心到切線的距離d=

|2a 2 |

(2 2 )2+a2

=r=2，即8a²=4（8+a²），
解得：a=±2

2

，
則所求切線的方程為：x+y-2

2

=0或x-y+2

2

=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：直線的點斜式方程，直線的截距式方程，圓的標準方程，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運用此性質是解本題的關鍵．