Question

已知函數f（x）在（-1，1）上有定義，當0＜x＜1時，f（x）＜0，且對任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（），試證明：
（1）f（x）為奇函數；
（2）f（x）在（-1，1）上單調遞減．

Answer 1

解：（1）由題意，令x=y=0代入已知式子可得：
f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
故f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（）
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴0＜x₂-x₁＜2，0＜1-x₂x₁＜2，
∴0＜＜1，故f（）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（-1，1）上單調遞減．
分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得證；（2）由單調性的定義，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，由性質可得可得
f（x₂）-f（x₁）=f（），由已知可判f（）＜0，進而得證．
點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷與證明，給x，y賦值是解決問題的關鍵，屬基礎題．