Question

已知i，m，n是正整數，且1＜i≤m＜n．
（1）證明nⁱP_mⁱ＜mⁱP_nⁱ；
（2）證明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將要證的不等式變形為分別含m，n的式子，再利用排列數公式，據不等式的性質得證
（2）利用二項式定理再利用（1）的結論和排列數和組合數的關系得證．
解答：證明：（1）對于1＜i≤m有p_mⁱ=m••（m-i+1），，
同理，
由于m＜n，對整數k=1，2，i-1，有，
所以，即mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ．
（2）由二項式定理有，
，
由（1）知mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ（1＜i≤m＜n），
而，，
所以，mⁱC_nⁱ＞nⁱC_mⁱ（1＜i≤m＜n）．
因此，．
又mC_n=nC_m=1，mC_n¹=nC_m¹=mn，mⁱC_nⁱ＞0（1＜i≤m＜n）．
∴．
即（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．
點評：本小題考查排列、組合、二項式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力．