Question

已知：函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²-2ax+1，若f（0）=g（0）．
（1）求正實數a的取值；
（2）求函數h（x）=g（x）-f（x）的解析式（用分段函數表示）；
（3）畫出函數h（x）的簡圖，并寫出函數的值域和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）f（0）=|0-a|=|a|=a，g（0）=0-0+1=1，由f（0）=g（0），能求出a．
（2）f（x）-g（x）=|x-1|-x²+2x-1，當x≥1時，f（x）-g（x）=（x-1）-x²+2x-1=-x²+3x-2，當x＜1時，f（x）-g（x）=（1-x）-x²+2x-1=-x²+x，由此能求出h（x）．
（3）當x≥1時，y=h（x）=-x²+3x-2的圖象的對稱軸是x=

3

2

，頂點坐標是（

3

2

，

1

4

），與x軸交于點（1，0）和（2，0）；當x＜1時，y=h（x）=-x²+x的圖象的對稱軸是x=

1

2

，頂點坐標是（

1

2

，

1

4

），與x軸交于點（0，0）和（1，0）．
結合拋物線的對稱性，能作出h（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

的簡圖，結合圖象，能求出函數的值域和單調遞增區間．

解答：解：（1）f（0）=|0-a|=|a|=a，
g（0）=0-0+1=1，
因為f（0）=g（0），
所以a=1．
（2）f（x）-g（x）=|x-1|-x²+2x-1，
當x≥1時，f（x）-g（x）=（x-1）-x²+2x-1=-x²+3x-2，
當x＜1時，f（x）-g（x）=（1-x）-x²+2x-1=-x²+x，
∴h（x）=g（x）-f（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

．
（3）當x≥1時，y=h（x）=-x²+3x-2的圖象的對稱軸是x=

3

2

，
頂點坐標是（

3

2

，

1

4

），
與x軸交于點（1，0）和（2，0）；
當x＜1時，y=h（x）=-x²+x的圖象的對稱軸是x=

1

2

，
頂點坐標是（

1

2

，

1

4

），
與x軸交于點（0，0）和（1，0）．
結合拋物線的對稱性，
作出h（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

的簡圖如下：

結合圖象，知函數的值域為（-∞，

1

4

]，
單調遞增區間為(-∞，

1

2

]∪[1，

3

2

]．

點評：本題考正實數a的取值，求函數h（x）=g（x）-f（x）的解析式，畫出函數h（x）的簡圖，并寫出函數的值域和單調遞增區間．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．