Question

如圖所示，有兩條道路OM與ON，∠MON=60°，現要鋪設三條下水管道OA，OB，AB（其中A，B分別在OM，ON上），若下水管道的總長度為3km，設OA=a（km），OB=b（km）．
（1）求b關于a的函數表達式，并指出a的取值范圍；
（2）已知點P處有一個污水總管的接口，點P到OM的距離PH為，到點O的距離PO為，問下水管道AB能否經過污水總管的接口點P？若能，求出a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把AB的長度用含有a，b的代數式表示，在三角形AOB中利用余弦定理得到b和a的關系，即得到b關于a的函數表達式，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到a的取值范圍；
（2）利用解析法，以O為原點，OM所在直線為x軸，建立直角坐標系，求出P點的坐標，假設AB過點P，設出A，B的坐標，寫出A，B所在直線方程，把P點坐標代入直線方程求出a的值，在定義域當中，則假設成立，否則，不成立．
解答：解：（1）∵OA+OB+AB=3，∴AB=3-a-b．
∵∠MON=60°，由余弦定理，得AB²=a²+b²-2abcos60°．
∴（3-a-b）²=a²+b²+ab．
整理，得．
由a＞0，b＞0，3-a-b＞0，及
a+b＞3-a-b，a+3-a-b＞b，b+3-a-b＞a，得0＜a＜．
綜上，．
（2）以O為原點，OM所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標系．

∵，∴點P（）．
假設AB過點P．
∵A（a，0），，即B，
∴直線AP方程為，即．
將點B代入，得．
化簡，得6a²-10a+3=0．
∴．
．
答：下水管道AB能經過污水總管的接口點P，（km）．
點評：本題考查了根據實際問題選擇函數模型，考查了余弦定理在解三角形中的應用，注意實際問題要有實際意義，是中檔題．