Question

定義在R上的奇函數f（x）滿足：f（x）=-f（x+

3

2

），f（-1）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x）是奇函數可得f（-1）=-f（1）且f（0）=0，又由f（x）=-f（x+

3

2

）可得函數f（x）的周期為3，由此即可得解

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函數，且f（-1）=1
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1）=-1
又∵f（x）=-f（x+

3

2

）
∴f（x+

3

2

）=-f（x），∴f（x+3）=f（x+

3

2

+

3

2

）=f（x）
∴函數f（x）的周期為T=3
∴f（-1）=f（2）=1，f（3）=f（0）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）=-1+0+1=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=669×（f（0）+f（1）+f（3））+f（1）=-1
故答案為：-1

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性，要求能深入挖掘奇函數這一條件，會推導抽象函數的周期．