Question

已知函數f（x）=ax³-3x²+1-，
（Ⅰ）若函數f（x）在x=-1時取到極值，求實數a的值；
（Ⅱ）試討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a＞1時，在曲線y=f（x）上是否存在這樣的兩點A，B，使得在點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：，
（Ⅰ）∵函數f（x）在x=-1時取到極值，
∴，
經檢驗a=-2函數f（x）在x=-1時取到極小值，
∴實數a的值-2；
（Ⅱ）由，
①當，由，
由，
∴函數f（x）的單調增區間為，單調減區間為；
②當，
同理可得函數f（x）的單調增區間為，單調減區間為。
（Ⅲ）假設存在滿足要求的兩點A，B，即在點A、B處的切線都與y軸垂直，則，
即，
∴，
又線段AB與x軸有公共點，
∴，
即，
又a＞1，
解得，
所以當時，存在滿足要求的點A、B。