Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在實數m，使f（m）=-a．
（1）試推斷f（x）在區間[0，+∞）上是否為單調函數，并說明你的理由；
（2）設g（x）=f（x）+bx，對于x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若g（x₁）=g（x₂）=0，求|x₁-x₂|的取值范圍；
（3）求證：f（m+3）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據存在實數m，使f（m）=-a，得到一元二次方程ax²+bx+c+a=0有實根，用根的根據式列出△=b²-4a（a+c）≥0，再用f（1）=a+b+c=0，得到a＞0＞c且b=（-a-c），代入以上所得的不等式，化簡得到b≥0．最后得到二次函數圖象開口向上且對稱軸在y軸的左邊，從而得出f（x）在區間[0，+∞）上是增函數；
（2）根據題意得：x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的兩根．利用根與系數的關系，將|x₁-x₂|²轉化為關于a、c的代數式，再討論以

c

a

為單位的二次函數，其定義域為[-2，-1]，求得|x₁-x₂|²的最大最小值，從而得到|x₁-x₂|的取值范圍；
（3）利用二次函數的零點式，設f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)，再用f（m）=-a代入，得(m-1)(m-

c

a

)=-1＜0，從而得到-2＜

c

a

＜m＜1，所以m+3＞1，再結合f（x）在區間[0，+∞）上是增函數，得到f（m+3）＞f（1）=0．

解答：解：（1）∵存在實數m，使f（m）=-a．
∴方程ax²+bx+c+a=0有實根⇒△=b²-4a（a+c）≥0…（*）

∵f(1)=0

，
∴a+b+c=0，結合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再將a+c=-b代入不等式（*），得
b²-4a•（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函數f（x）=ax²+bx+c圖象開口向上，且關于直線x=-

b

2a

對稱
∵-

b

2a

＜0，f（x）在[-

b

2a

，+∞）上是增函數．
∴f（x）在區間[0，+∞）上是增函數…（3分）
（2）根據題意，得x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的兩實根．
根據根與系數的關系得：

x1+x2=- 2b a x1•x2= c a

∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 4b2 a2 - 4c a = 4 a2 (b2-ac)= 4 a2 [(a+c)2-ac]

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]=4(

c

a

+

1

2

)2+3.

，

∵a＞b=-（a+c）．
∴2a＞-c＞0⇒

c

a

＞-2，又a+c=-b≤0，
∴

c

a

≤-1⇒(

c

a

+

1

2

)2∈[

1

4

，

9

4

)．
∴|x1-x2|∈[2，2

3

)，…．（8分）
（3）∵f(1)=0．設f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)．
∵f（m）=-a，
∴a(m-1)(m-

c

a

)=-a

⇒(m-1)(m- c a )=-1＜0

，
∴

c

a

＜m＜1⇒m＞-2⇒m+3＞1
∵f（x）在區間[0，+∞）上是增函數
∴f(m+3)＞f(1)=0.．…（14分）

點評：本題考查了函數的單調性、二次函數的值域、一元二次方程與一元二次不等式之間的關系和二次函數零點的分布和根與系數的關系等知識點，是一道難題．