Question

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F₁、F₂，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點，設＝λ.

   （Ⅰ）證明：λ＝1－e²；

   （Ⅱ）確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

Answer 1

（Ⅰ）因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是

所以      因為點M在橢圓上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）解：因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|.設點P的坐標是，

則

由|PF₁|=|F₁F₂|得

兩邊同時除以4a²，化簡得  從而

于是.    即當時，△PF₁F₂為等腰三角形.

解析:

點撥與提示：（1）由A、B的坐標求出M點的坐標（x₀,y₀），代入橢圓的方程即可；（2）利用等腰三角形的性質|PF₁|=|F₁F₂|來求λ的值.