Question

（2013•陜西）如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=

2

．
（Ⅰ） 證明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由四棱柱的性質可得四邊形BB₁D₁D為平行四邊形，故有BD和B₁D₁平行且相等，可得 BD∥平面CB₁D₁．同理可證，A₁B∥平面CB₁D₁．而BD和A₁B是平面A₁BD內的兩條相交直線，利用兩個平面平行的判定定理可得平面A₁BD∥平面CD₁B₁ ．
（Ⅱ） 由題意可得A₁O為三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，由勾股定理可得A₁O=

A1A2-AO2

的值，再根據三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積V=S_△ABD•A₁O，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=

2

，
由棱柱的性質可得BB₁ 和DD₁平行且相等，故四邊形BB₁D₁D為平行四邊形，故有BD和B₁D₁平行且相等．
而BD不在平面CB₁D₁內，而B₁D₁在平面CB₁D₁內，∴BD∥平面CB₁D₁．
同理可證，A₁BCD₁為平行四邊形，A₁B∥平面CB₁D₁．
而BD和A₁B是平面A₁BD內的兩條相交直線，故有平面A₁BD∥平面CD₁B₁ ．
（Ⅱ） 由題意可得A₁O為三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高．三角形A₁AO中，由勾股定理可得A₁O=

A1A2-AO2

=

2-1

=1，
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積V=S_△ABD•A₁O=

AB2

2

•A₁O=

2

2

×1=1．

點評：本題主要考查棱柱的性質，兩個平面平行的判定定理的應用，求三棱柱的體積，屬于中檔題．