Question

函數y=f（x）為定義在R上的減函數，函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O為坐標原點，則當1≤x≤4時，

OM

•

ON

的取值范圍為（　�。�

A．[12，+∞]

B．[0，3]

C．[3，12]

D．[0，12]

Answer 1

分析：判斷函數的奇偶性，推出不等式，利用約束條件畫出可行域，然后求解數量積的范圍即可．

解答： 解：函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
所以f（x）為 奇函數．
∴f（x²-2x）≤f（-2y+y²）≤0，
∴x²-2x≥-2y+y²，
∴

x2-2x≥y2-2y 1≤x≤4

即

(x-y)(x+y-2)≥0 1≤x≤4

，畫出可行域如圖，
可得

OM

•

ON

=x+2y∈[0，12]．
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性，線性規劃的應用，向量的數量積的知識，是綜合題，考查數形結合與計算能力．