Question

如圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD為邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若N為線段PB的中點，求證：EN∥平面ABCD；
（2）求點D到平面PBE的距離．

Answer 1

分析：解法1（幾何法）：（1）連接AC與BD交于點F，連接NF，根據中位線定理及平行四邊形判定定理和性質，可得NE∥FC，進而由線面平行的判定定理得到EN∥平面ABCD
（2）連接DE，可得BC是三棱錐B-PDE的高，利用等積法，根據棱錐D-PBE與棱錐B-PDE是同一棱錐，體積相等，可求出點D到平面PBE的距離
解法2（向量法）：（1）以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系，根據直線EN的方向向量與平面ABCD的法向量垂直，可證得EN∥平面ABCD；
（2）求出平面PBE的法向量為

n

，根據點D到平面PBE的距離d=

DP • n

| n |

，可得點D到平面PBE的距離

解答：解：（1）解法1（幾何法）：
連接AC與BD交于點F，連接NF，…..（1分）
∵F為BD的中點，
∴NF∥PD且NF=

1

2

PD….3分
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四邊形NFCE為平行四邊形，…．…4分
∴NE∥FC．…．…．…．….5分
∵NE?平面ABCD，且FC?平面ABCD
所以EN∥平面ABCD；….6分
（2）連接DE，由題PD⊥BC，且DC⊥BC，故BC是三棱錐B-PDE的高，
在直角梯形PDCE中，可求得PD=

5

，且BE=

5

由（1）所以EN⊥PB…9分
VB-PDE=

1

3

S△PDE•BC=

1

3

•2•2=

4

3

，…．…．…11分
又S△PBE=

1

2

•

2

•(2

3

)=

6

，…．…．…12分
設所求的距離為d，則d=

3VB-PDE

S△PBE

=

2 6

3

…．…．…..14分
解法2（向量法）：
（1）以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖所示：…．…1分，
則B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），N（1，1，1），…．…．…．…2分
∴

EN

=（1，-1，0），

DB

=(0，0，2)…..3分

EN

•

DP

=0+0+0=0
∴EN⊥PD，…．…．…4分
又

DP

是平面ABCD的法向量
∵NE?平面ABCD
所以EN∥平面ABCD；….6分
（2）由（1）可知

PB

=(2，2，-2)，

PE

=(0，2，-1)，….8分
設平面PBE的法向量為

n

=(x，y，z)
由

n

•

PB

=0，

n

•

PE

=0得

2x+2y-2z=0 2y-z=0

…．…10分
解得其中一個法向量為

n

=(1，1，2)…..11分
點D到平面PBE的距離為d，則d=

DP • n

| n |

=

(0，0，2)•(1，1，2)

1+1+4

=

2 6

3

…14分

點評：本題考查的知識點是用空間向量求點到面的距離，直線與平面平行的判定，幾何法證明要掌握掌握空間線面關系的判定定理及性質定理，向量法證明關鍵是建立空間坐標系，將空間線面夾角轉化為向量夾角，將空間點面距離轉化為向量的投影．