Question

某高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設數學、物理、化學、生物和信息技術輔導講座，每位有興趣的同學可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導講座，也可以放棄任何一門科目的輔導講座．（規定：各科達到預先設定的人數時稱為滿座，否則稱為不滿座）統計數據表明，各學科講座各天的滿座的概率如下表：

	信息技術	生物	化學	物理	數學
周一	1 4	1 4	1 4	1 4	1 2
周三	1 2	1 2	1 2	1 2	2 3
周五	1 3	1 3	1 3	1 3	2 3

根據上表：
（1）求數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；
（2）設周三各輔導講座滿座的科目數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意設數學輔導講座在周一，周三，周五都不滿座位事件A，則有獨立事件同時發生的概率公式即可求得；
（2）由于題意可以知道隨機變量ξ的可能值為0，1，2，3，4，5，利用隨見變量的定義及相應的事件的概率公式即可求得隨機變量每一個值下的概率，并列出其分布列，再有期望定義求解．

解答：解：（1）設數學輔導講座在周一，周三，周五都不滿座位事件A，
則P（A）=（1-

1

2

)(1-

2

3

)(1-

2

3

)=

1

18

(1-

2

3

)(1-

2

3

)=

1

18

，
（2）由題意隨機變量ξ的可能值為0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=(1-

1

2

)4(1-

2

3

)=

1

48

，
P（ξ=1）=

C

1 4

• 

1

2

 •(1-

1

2

)3•(1-

2

3

)+(1-

1

2

)4•

2

3

=

1

8

，
P（ξ=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2(1-

2

3

)+

C

1 4

•

1

2

•(1-

1

2

)3•

2

3

=

7

24

，
P（ξ=3）=

C

3 4

(

1

2

)3(1-

1

2

)•(1-

2

3

)+

C

2 4

(

1

2

)2•(1-

1

2

)2•

2

3

=

1

3

，
P（ξ=4）=(

1

2

)4•(1-

2

3

)+

C

3 4

(

1

2

)3•(1-

1

2

)•

2

3

=

3

16

，
P （ξ=5）=(

1

2

)4•

2

3

=

1

24

，
所以隨機變量的分布列為：

故Eξ=0×

1

48

+1×

1

8

+2×

7

24

+3×

1

3

+4×

3

16

+5×

1

24

=

8

3

．

點評：此題屬于中檔題型，重在理解題意并分型事件的類型用準概率公式，考查了隨機變量的定義及其分布列，還考查了隨機變量的期望公式及計算能力．