Question

若一個正三棱柱存在外接球與內切球，則它的外接球與內切球表面積之比為    ．

Answer 1

【答案】分析：設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當球外切于正三棱柱時，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當正三棱柱外接球時，球的球心是正三棱柱高的中點，且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構成兩個正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內切球與外接球表面積之比．
解答：解：設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，
當球外切于正三棱柱時，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距 ，R₁²=，
故正三棱柱的高為 ，
當正三棱柱外接球時，球的圓心是正三棱柱高的中點，且球的球心與正三棱柱兩個底面正三角形構成兩個正三棱錐，=，
∴內切球與外接球表面積之比為=1：8．
故答案為：8：1
點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是常考題型，求內切球與外接球的半徑是本題的關鍵．