Question

如圖，已知A₁，A₂分別為橢圓的下頂點和上頂點，F為橢圓的下焦點，P為橢圓上異于A₁，A₂點的任意一點，直線A₁P，A₂P分別交直線l：y=m（m＜-2）于M，N點
（1）當點P位于y軸右側，且PF∥l時，求直線A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN為直徑的圓過F點？若存在加以證明，若不存在，請說明理由；
（3）由（2）問所得m值，求線段MN最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）PF∥l時，P點坐標為P（）．由A₁（0，-2）．能求出直線A₁M方程
（2）設A₁M：y=k₁x-2，由，得M（，m），=（，m+1）．設A₂N：y=k₂x+2，由，得N（，m），=（，m+1）．若以MN為直徑的圓過點F，則，由此能求出m=-4．
（3）由m=-4，知M（-，-4），N（），所以|MN|=6，由此能求出|MN|最小值．
解答：解：（1）∵橢圓的下焦點F（0，-1），
點P在橢圓上，且點P位于y軸右側，
∴PF∥l時，P點坐標為P（x，-1），（x＞0），
把P（x，-1）（x＞0）代入橢圓，
得，
解得x=，∴P（）．
∵A₁為橢圓的下頂點，
∴A₁（0，-2）．
∴直線A₁M方程：，
即2x-3y-6=0．（3分）
（2）∵A₁，A₂分別為橢圓的下頂點和上頂點，
∴A₁（0，-2），A₂（0，2），
設A₁M：y=k₁x-2，由，得M（，m），
∴=（，m+1）．
設A₂N：y=k₂x+2，由，得N（，m），
∴=（，m+1）．
若以MN為直徑的圓過點F，則，
得．（5分）
∵．（7分）
∴，
∴m=-4．（9分）
（3）∵m=-4，
∴M（-，-4），N（），
∴
∴|MN|=6，
當且僅當時，
|MN|最小值為6．（12分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．