Question

設坐標原點為O，拋物線y²=2x上兩點A、B在該拋物線的準線上的射影分別是A′、B′，已知|AB|=|AA′|+|BB′|，則

OA

•

OB

=

-

3

4

．

Answer 1

分析：設拋物線的焦點為F，準線為l．根據根據拋物線線的定義，得|AB|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|，可得AB是拋物線經過焦點F的弦．然后根據A、F、B三點共線，利用斜率公式列式，化簡整理得到A、B兩點縱坐標之積為-1，橫坐標之積等于

1

4

，最后利用向量數量積的坐標公式，可算出

OA

•

OB

的值．

解答：解：設拋物線的焦點為F，準線為l
∵AA′⊥l，點A在拋物線上
∴根據拋物線線的定義，得|AA′|=|AF|．
同理可得|BB′|=|BF|，
∵|AB|=|AA′|+|BB′|，
∴|AB|=|AF|+|BF|，可得AB是拋物線經過焦點F的弦．
因為拋物線方程為y²=2x，所以焦點F坐標為（

1

2

，0），
設A（

1

2

y12，y₁），B（

1

2

y22，y₂），
∵A、F、B三點共線
∴k_AF=k_BF，可得

y1-0

1 2 y12- 1 2

=

y2-0

1 2 y22- 1 2

，
化簡整理得：（y₁y₂+1）（y₁-y₂）=0，
顯然y₁-y₂≠0，所以y₁y₂=-1
∴

OA

•

OB

=

1

2

y12•

1

2

y22+y₁y₂=

1

4

（y₁y₂）²+y₁y₂=

1

4

-1=-

3

4

故答案為：-

3

4

點評：本題給出拋物線的焦點弦的端點為A、B，求向量

OA

、

OB

的數量積，著重考查了拋物線的幾何性質、直線斜率的公式等知識點，屬于中檔題．