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5.已知函數f(x)=(x+1)lnx-ax+2.
(1)當a=1時,求在x=1處的切線方程;
(2)若函數f(x)在定義域上具有單調性,求實數a的取值范圍;
(3)求證:$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}<\frac{1}{2}ln(n+1)$,n∈N*

分析 (1)求出函數的導數,計算f(1),f′(1),求出切線方程即可;
(2)求出函數的導數,通過討論函數遞減和函數遞增,從而求出a的范圍即可;
(3)令a=2,得:lnx>$\frac{{2({x-1})}}{x+1}$在(1,+∞)上總成立,令x=$\frac{n+1}{n}$,得ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{2(\frac{n+1}{n}-1)}{\frac{n+1}{n}+1}$,化簡得:ln(n+1)-lnn>$\frac{2}{2n+1}$,對x取值,累加即可.

解答 解:(1)當a=1時,f(x)=(x+1)lnx-x+2,(x>0),
f′(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,f′(1)=1,f(1)=1,
所以求在x=1處的切線方程為:y=x.
(2)f′(x)=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a,(x>0).
(i)函數f(x)在定義域上單調遞減時,
即a≥lnx+$\frac{x+1}{x}$時,令g(x)=lnx+$\frac{x+1}{x}$,
當x>ea時,g′(x)>0,不成立;
(ii)函數f(x)在定義域上單調遞增時,a≤lnx+$\frac{x+1}{x}$;
令g(x)=lnx+$\frac{x+1}{x}$,
則g′(x)=$\frac{x-1}{x^2}$,x>0;
則函數g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增;
所以g(x)≥2,故a≤2.
(3)由(ii)得當a=2時f(x)在(1,+∞)上單調遞增,
由f(x)>f(1),x>1得(x+1)lnx-2x+2>0,
即lnx>$\frac{{2({x-1})}}{x+1}$在(1,+∞)上總成立,
令x=$\frac{n+1}{n}$得ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{2(\frac{n+1}{n}-1)}{\frac{n+1}{n}+1}$,
化簡得:ln(n+1)-lnn>$\frac{2}{2n+1}$,
所以ln2-ln1>$\frac{2}{2+1}$,
ln3-ln2>$\frac{2}{5+1}$,…,
ln(n+1)-lnn>$\frac{2}{2n+1}$,
累加得ln(n+1)-ln1>$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+…+\frac{2}{2n+1}$,
即$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}<\frac{1}{2}$ln(n+1),n∈N*命題得證.

點評 本題考查了切線方程問題,考查函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想、轉化思想,是一道綜合題.

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