Question

某足球俱樂部和其他4支俱樂部進行足球聯賽，它要與其他每支球隊各賽一場，在4場的任意一場中，此俱樂部每次勝、負、平的概率相等．已知當這四場比賽結束后，該俱樂部勝場多于負場．
（Ⅰ）求該俱樂部勝場多于負場的所有可能的個數和；
（Ⅱ）若勝場次數為X，求出X的分布列并求X的數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）若勝一場，則其余為平，共有C₄¹=4，…（2分）
若勝兩場，則其余兩場有一負一平和兩平兩種情況，共有C₄²C₂¹+C₄²=18，…（4分）
若勝三場，則其余一場有負和平兩種情況，共有C₄³×2=8，…（6分）
若勝四場，則只有一種情況，共有1，綜上，共有31種情況．…（8分）
（Ⅱ）X可能取值為，
所以分布列為．

X	1	2	3	4
P

…（10分） …（12分）
分析：（I）分情況考慮，若勝一場，則其余為平，若勝兩場，則其余兩場有一負一平和兩平兩種情況，若勝三場，則其余一場有負和平兩種情況，若勝四場，則只有一種情況，共有1，求出所求的可能個數；
（II）X可能取值為1、2、3、4，分別求出所對應的概率，列出分布列，最后根據數學期望的公式進行求解即可．
點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望，以及離散型隨機變量及其分布列，屬于基礎題．