Question

正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，E、F、G、H分別是PA、AC、BC、PB的中點，四邊形EFGH面積記為S_（x），則S_（x）的取值范圍是

（

3 a2

12

，+∞）

．

Answer 1

分析：由棱錐P-ABC為底面邊長為a的正三棱錐，知AB⊥PC，由E，F，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點，知EH=FG=

1

2

AB，由此能求出四邊形EFGH的面積．

解答：解：∵棱錐P-ABC為底面邊長為a的正三棱錐，
∴AB⊥PC，
又∵E，F，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點，
∴EH=FG=

1

2

AB，，EF=HG=

1

2

PC，
則四邊形EFGH為一個矩形，
∵正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，
作CD⊥AB，交AB于D，則CD=

a2- 1 4 a2

=

3

2

a，
作PO⊥CD，交CD于O，則CO=

2

3

CD=

3

3

a，
在Rt△POC中，∵∠POC=90°，
∴PC＞CO=

3 a

3

，∴EF＞

3

6

a，
∴四邊形EFGH的面積為S＞

3 a2

12

，
故答案為：（

3 a2

12

，+∞）．

點評：本題考查三角取值范圍，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．