Question

已知雙曲線W：，其中一個焦點到相應準線間的距離為，漸近線方程為
（1）求雙曲線W的方程
（2）過點Q（0，1）的直線l交雙曲線W與A，B兩個不同的點，若坐標原點O在以線段AB為直徑的圓外，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知可得，，∴
∴雙曲線W的方程為；
（2）易知直線斜率存在，設AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線方程與雙曲線方程聯立，消去y可得（3-k²）x²-2kx-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由，可得k²＜4且k²≠3
∵坐標原點O在以線段AB為直徑的圓外，
∴＞0
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=＞0
∴k²＞3
∴3＜k²＜4
∴直線l的斜率范圍為（-2，-）∪（，2）．
分析：（1）利用一個焦點到相應準線間的距離為，漸近線方程為，建立方程組，求得幾何量，即可求得雙曲線的方程；
（2）設出直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理，結合向量的數量積公式，即可得到結論．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．