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在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足=1.
(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點,且++=,試求△MNH的面積.
【答案】分析:(Ⅰ)設點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,y),表示出=(x+1,y),=(x-1,y),利用=1,即可求得動點P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)設出l:y=-(x-1),與橢圓聯立方程組,消去y,得2x2-2x-1=0,利用++=,確定H的坐標,計算|MN|,及H到直線l的距離即可求出△MNH的面積.
解答:解:(Ⅰ)設點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,y).
依據題意,有=(x+1,y),=(x-1,y).…(2分)
=1,
∴x2-1+2y2=1.
∴動點P所在曲線C的方程是+y2=1 …(4分)
(Ⅱ)因直線l過點B,且斜率為k=-,故有l:y=-(x-1)…(5分)
聯立方程組,消去y,得2x2-2x-1=0.…(7分)
設M(x1,y1)、N(x2,y2),可得,于是.…(8分)
++=,得=(-x1-x2,-y1-y2),即H(-1,-)…(10分)
∴|MN|=,…(12分)
又l:x+2y-=0,則H到直線l的距離為d=
故所求△MNH的面積為S=.…(14分)
點評:本題考查軌跡方程的求法,考查直線與橢圓的位置關系,考查三角形面積的計算,計算弦長及點到直線的距離是關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•淄博一模)在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的
2
倍后得到點Q(x,
2
y),且滿足
AQ
BQ
=1.
(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)過點B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點,且
OM
+
ON
+
OH
=
0
,試求△MNH的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•淄博一模)在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的
2
倍后得到點Q(x,
2
y)
,且滿足
AQ
BQ
=1

(I)求動點P所在曲線C的方程;
(II)過點B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點,且
OM
+
ON
+
OH
=
0
,又點H關于原點O的對稱點為點G,試問M、G、N、H四點是否共圓?若共圓,求出圓心坐標和半徑;若不共圓,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:2013屆廣東省高二下期中理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.

(1)求動點P所在曲線C的方程;

(2)過點B作斜率為-的直線L交曲線C于M、N兩點,且++=,試求△MNH的面積.

 

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年山東省萊蕪市高三4月自主檢測文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.

(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程;

(Ⅱ)過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點,且++=,試求△MNH的面積.

 

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科目:高中數學 來源:2012年山東省萊蕪一中高三4月自主檢測數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

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(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點,且++=,試求△MNH的面積.

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