Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中點，求證:AD⊥CC₁；

(2)過側面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側棱于M，若AM=MA₁，求證:截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C；

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.

Answer 1

(1)證明略 (2)證明略 (3) 結論是肯定的

解析:

(1)證明: ∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，∴AD⊥側面BB₁C₁C

∴AD⊥CC₁.

(2)證明: 延長B₁A₁與BM交于N，連結C₁N

∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁

∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁

∴C₁N⊥C₁B₁

∵底面NB₁C₁⊥側面BB₁C₁C，∴C₁N⊥側面BB₁C₁C

∴截面C₁NB⊥側面BB₁C₁C

∴截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C.

(3)解： 結論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性. 

過M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C

∴ME⊥側面BB₁C₁C，又∵AD⊥側面BB₁C₁C. 

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥側面BB₁C₁C，∴AM∥DE

∵CC₁⊥AM，∴DE∥CC₁

∵D是BC的中點，∴E是BC₁的中點

∴AM=DE=AA₁，∴AM=MA₁.