Question

（1）如果(x+

1

x

)2n展開式中，第四項與第六項的系數相等．求n，并求展開式中的常數項；
（2）求(

x

-

1

2 4 x

)8展開式中的所有的有理項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式中第4項與第6項的系數，列出方程解得n值，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為0求出常數項；
（2）先求得展開式的通項公式，在通項公式中令x的冪指數為有理數，求得r的值，即可求得展開式中有理項．

解答：解：（1）∵(x+

1

x

)2n展開式中，第四項與第六項的系數相等，
∴C_2n³=C_2n⁵，
∴3+5=2n，即n=4，
∴展開式中的通項為T_r+1=C₈^rx^8-2r，
若它為常數項，則r=4，∴T₅=C₈⁴=70．即常數項為70；
（2）設第k+1項為有理項，則T_k+1=C₈^kx

8-k

2

(-

1

2

x-

1

4

)k=C₈^k•(-

1

2

)k•x

16-3k

4

，
∵0≤k≤8，要使

16-3k

4

∈Z，只有使k分別取0，4，8，
∴所求的有理項應為：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₁=

1

256

x-2．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．屬于中檔題．