Question

甲、乙兩籃球運動員進行定點投籃，每人各投4個球，甲投籃命中的概率為

1

2

，乙投籃命中的概率為

2

3

（Ⅰ）求甲至多命中2個且乙至少命中2個的概率；
（Ⅱ）若規定每投籃一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分數η的概率分布和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲至多命中2個且乙至少命中2個包含的兩個事件是相互獨立事件，分別做出甲至多命中2個球的概率和乙至少命中兩個球的概率，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．
（II）乙所得分數為η，η可能的取值-4，0，4，8，12，當變量是-4時，表示一個球也沒進，當變量是0時，表示只進一個球，當變量是4時，表示進了2個球，當變量是8時，表示進了3個球，當變量是12時，表示進了4個球，結合變量對應的事件和獨立重復試驗寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）甲至多命中2個且乙至少命中2個包含的兩個事件是相互獨立事件，
設“甲至多命中2個球”為事件A，“乙至少命中兩個球”為事件B，由題意得：P(A)=(

1

2

)4+

C

1 4

(

1

2

)1•(

1

2

)3+

C

2 4

(

1

2

)2•(

1

2

)2=

11

16

P(B)=

C

2 4

(

2

3

)2×(

1

3

)2+

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

+(

2

3

)4=

8

9

∴甲至多命中2個球且乙至少命中2個球的概率為：
P(A)•P(B)=

11

16

×

8

9

=

11

18

（Ⅱ）乙所得分數為η
η可能的取值-4，0，4，8，12，
P（η=-4）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，
P（η=0）=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3=

8

81

P（η=4）=C₄²(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

P（η=8）=

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

=

32

81

P（η=-4）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

分布列如下：

∴Eη=-4×

1

81

+0×

8

81

+4×

24

81

+8×

32

81

+12×

16

81

=

20

3

．

點評：本題考查獨立重復試驗，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是一個綜合題，解題時注意進球的個數對應的是乙所得的分數，注意分數與進球個數的對應．