Question

如圖，橢圓長軸端點為,為橢圓中心，為橢圓的右焦點,

且，.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由

Answer 1

(Ⅰ)     (Ⅱ)   

解析:

（1）設橢圓方程為

由題意又∵即

∴    故橢圓方程為   …………4分

 （2）假設存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則

設，∵，故   ……………6分

于是設直線為 ，由得

     …………8分

∵ 又

得  即

  由韋達定理得

 

解得或（舍）  經檢驗符合條件

則直線的方程為:………13分