Question

正態總體為m=0，s=1時的概率密度函數是

　　f(x)=(x∈R)．

　　(1)求證：f(x)是偶函數；

　　(2)求f(x)的最大值；

　　(3)利用指數函數的性質說明f(x)的增減性．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：對于任意的x∈R 　　f(-x)==f(x) 　　∴　f(x)是偶函數 　　(2)解：令z=，當x=0時，z=0，ez=1 　　∵　ez是關于z的增函數，當x≠0時，z＞0，ez＞1 　　∴　當x=0，即z=0時，=ez取得最小值 　　∴　當x=0時，f(x)=取得最大值 　　(3)解：任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2，有 　　，∴　 　　 　　即f(x1)＜f(x2) 　　它表明當x＜0時，f(x)是遞增的 　　同理可得，對于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2)， 　　即當x＞0時，f(x)是遞減的． 　　說明：本題總結了正態總體為m=0，s=1時的概率密度函數的一些重要性質．