Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為對(duì)角線B1D上的一點(diǎn)，M，N為對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段MN的長(zhǎng)度為1．
⑴當(dāng)N為對(duì)角線AC的中點(diǎn)且DE= 時(shí)，則三棱錐E﹣DMN的體積是；
⑵當(dāng)三棱錐E﹣DMN的體積為 時(shí)，則DE= ．

Answer 1

【答案】 ；
【解析】解：（1）∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，N是AC的中點(diǎn)，

∴AC⊥BD，DN= ，

∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，

∴AC⊥平面BB1D，

故當(dāng)N為AC的中點(diǎn)時(shí)，有MN⊥平面DEN，

又DB1=2 ，BB1=2，∴sin∠BDB1= = ，

∴VE﹣DMN=VM﹣DEN= = = ．

⑵設(shè)三棱錐E﹣DMN的高為h，

則VE﹣DMN= = = = ，

∴h= ，

∵ ，即 ，∴DE= ．

所以答案是：（1） ，（2） ．