Question

(本題12分)已知橢圓的離心率，過、兩點的直線到原點的距離是．
（1）求橢圓的方程 ； 
（2）已知直線交橢圓于不同的兩點、，且、都在以為圓心的圓上，求的值．

Answer 1

（1）；（2）.

(1)根據離心率可得c與a的關系，再根據點到直線的距離得到a,b的另一個方程，再根據,從而可解出a,b,c的值.
(2)解決此題的關鍵把、都在以為圓心的圓上這個條件，EF的中點M與B的連線垂直EF，然后直線方程與橢圓方程聯立，借助韋達定理求出中點坐標，再利用EF垂直MB，建立關于k的方程，求出k值.
（1），則；直線：
由題意：，即，
與聯立解得，則橢圓為
（2）聯立消并加以整理得：
設
則
故的中點坐標為
由題意、都在以為圓心的圓上，則
解得：.