Question

【題目】已知橢圓： 的左，右焦點分別為， ，離心率為， 是橢圓上的動點，當時， 的面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過點的直線交橢圓于， 兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】試題分析：（1）設橢圓的半焦距為，根據離心率和在中余弦定理，列出方程，求得，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，聯立方程組，求得則，利用弦長公式求得，在由點到直線的距離公式，求得點到直線的距離為，即可得到三角形面積的表達，再利用基本不等式，即可求解面積的最大值.

試題解析：

（1）設橢圓的半焦距為，

因為橢圓的離心率為，

所以.①

在中， ，由余弦定理，

得，

得，

得，

即，

所以.

因為的面積，

所以，即.②

又，③

由①②③，解得， ， .

所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為， ， ，

聯立

得，

由，得.

則， .

由弦長公式，得 .

又點到直線的距離為，

所以 .

令，則.

所以 ，

當且僅當，即， 時取等號.

所以面積的最大值為.