Question

已知函數f(x)=2sin(

π

8

x+

π

4

)+1．
（Ⅰ）在所給的坐標紙上作出函數y=f（x），x∈[-2，14]的圖象（不要求作圖過程）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），x∈R，求函數y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 令

π

8

x+

π

4

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π 這五個值，求出對應的x，y值，以這五個x，y值作為點的坐標
在坐標系中描出，即得函數在一個周期內的圖象．
（Ⅱ） 利用誘導公式和兩角和差的三角公式，把g（x）化為 2

2

cos（

π

8

x）+2，利用余弦函數的有界性求出
函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示：令

π

8

x+

π

4

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π 這五個值，根據 y=f(x)=2sin(

π

8

x+

π

4

)+1求出
對應的x，y值，以這五個x，y值作為點的坐標在坐標系中描出：（-2，1）、（2，3）、（6，1）、（10，-1）、
（14，1），即得函數在一個周期內的圖象．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+f（-x）=sin（

π

8

x+

π

4

）+1+2sin（-

π

8

x+

π

4

）+1 
=2sin（

π

8

x+

π

4

）-2sin（

π

8

x-

π

4

）+2=2

2

cos（

π

8

x）+2，
故當

π

8

x=2kπ，即x=16kπ，k∈z 時，函數 g（x）取最大值2

2

+2．

點評：本題考查用五點法作函數 y=Asin（ωx+∅）的圖象，誘導公式，兩角和差的三角公式的應用，利用余弦函數的有界性求出函數的最值．