Question

已知函數f（x）=3sin（

x

2

+

π

4

）+3
（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象； 
（2）求出f（x）的最小正周期、單調增區間；
（3）說明此函數圖象可由y=sinx的圖象經怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象； 
（2）根據三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小正周期、單調增區間；
（3）根據三角函數的圖象之間的關系即可得到結論．

解答：解：（1）根據五點作圖法進行取值．

x	- π 2	π 2	3π 2	5π 2	7π 2
x 2 + π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（ x 2 + π 4 ）	0	1	0	-1	0
3sin（ x 2 + π 4 ）+3	3	6	3	0	3

后描點并畫圖．
（2）三角函數的周期T=

2π

1 2

=4π，
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得
-

3π

2

+4kπ≤x≤

π

2

+4kπ，k∈Z，即函數的單調遞增區間為[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，k∈Z．
（3）將y=sinx向左平移

π

4

個單位得到函數y=sin（x+

π

4

），然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數y=sin（

x

2

+

π

4

），然后橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的3倍，
得到函數y=3sin（

x

2

+

π

4

），然后橫坐標不變，縱坐標增加3，得到函數y=3sin（

x

2

+

π

4

）+3．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，以及利用五點法作三角函數的圖象，綜合性較強，涉及的知識點較多．