Question

給出下列四個命題：
（1）若函數f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
（3）函數f（x）=sin2xcos2x的最小正周期是

π

2

；
（4）要得到函數y=cos(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

向左平移

π

4

個單位．其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）由已知可得函數在[0，1]上單調遞減，結合θ∈(

π

4

，

π

2

)，可知0＜cosθ＜sinθ＜1，從而可判斷（1）
（2）由銳角α，β滿足cosα＞sinβ可得sin（

1

2

π-α）＞sinβ，則有

1

2

π-α＞β，則可判斷（2）
（3）由周期公式可得，函數f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x的最小正周期
（4）根據函數的圖象的平移法則可得，把函數y=sin

x

2

向左平移

π

4

個單位可得y=sin[

1

2

（x+

π

4

）]，故可判斷（4）

解答：解：（1）由函數f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，可得函數在[0，1]上單調遞減，由θ∈(

π

4

，

π

2

)，可得0＜cosθ＜sinθ＜1，則f（sinθ）＜f（cosθ），故（1）錯誤
（2）由銳角α，β滿足cosα＞sinβ可得sin（

1

2

π-α）＞sinβ，則有

1

2

π-α＞β即α+β＜

π

2

，故（2）正確
（3）由周期公式可得，函數f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x的最小正周期是

π

2

，故（3）正確
（4）根據函數的圖象的平移法則可得，把函數y=sin

x

2

向左平移

π

4

個單位可得y=sin[

1

2

（x+

π

4

）]即y=sin(

1

2

x+

π

8

)的圖象，故（4）錯誤
故選：B

點評：本題主要考查了偶函數的對稱區間上的單調性相反的應用，三角函數的單調性、周期的求解、函數的圖象的平移法則的應用，屬于三角函數知識的綜合應用