Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別為A1B1、A1A的中點．

（1）求 ＞的值；
（2）求證：BN⊥平面C1MN；
（3）求點B1到平面C1MN的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，以CC1所在直線為z軸建立空間坐標系．

則A（1，0，0），B（0，1，0），A1 （1，0，2），B1 （ 0，1，2），C1（0，0，2），M（ ， ，2），

N（1，0，1），

∵ =（1，﹣1，2）， =（ 0，1，2）．

∴ = = = ．

（2）證明：∵ =（1，﹣1，1）， =（ ， ，0）， =（1，0，﹣1），

∴ = ﹣ +0=0， =1﹣0﹣1=0，∴ ， ，

∴BN⊥平面C1MN．

（3）解：設點B1到平面C1MN的距離為h，∵VB1﹣C1MN= ，

∴ ×（ MNMC1 ）h= ×（ B1MC1M ） NA1，

即 ×（ ）h= ×（ ）×1，∴h= ．

【解析】（1）建立空間坐標系，求出各個點的坐標，利用兩個向量的夾角公式求得 ＞的值．（2）由 =0， =0，得到 ， ，從而得到BN⊥平面C1MN．（Ⅲ）設點B1到平面C1MN的距離為h，由VB1﹣C1MN= ，解方程求得 h 值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．