Question

如圖所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F是AB的中點，G是AD的中點，∠BCG=30°．
（1）求證：EG⊥平面ABCD
（2）若M，N分別是EB，CD的中點，求證MN∥平面EAD．
（3）若AD=

6

，求三棱錐F-EGC的體積．

Answer 1

分析：（1））△ADE是正三角形，G是AD的中點，可證EG⊥AD，平面ADE⊥平面ABCD，由面面垂直的性質定理可得EG⊥平面ABCD；
（2）取AE中點H，連接DH，可證四邊形MHDN為平行四邊形，由線面平行的判定定理即可證得MN∥平面EAD；
（3）將求V_F-EGC轉化為求V_C-EGF即可．

解答：證明：（1）∵△ADE是正三角形，
∴EG⊥AD，又平面ADE⊥平面ABCD，且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD．   …（4分）
（2）取AE中點H，連接DH，
∵MH=

1

2

AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，
∴四邊形MHDN為平行四邊形，
∴MN∥DH，又MN?平面EAD，DH?平面ADE，
∴MN∥平面EAD．…（8分）
（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，即底面CGF的高為EG，且GE=

3 2

2

，
又在直角三角形EGC中，由GE=

3 2

2

，得CG=

3 6

2

，
∴DC=2

3

．
∴S_△CGF=2

3

×

6

-

1

2

×

6

2

×2

3

-

1

2

×

6

×

3

=

9 2

4

，
∴V_F-EGC=V_C-EGF
=

1

3

×

9 2

4

×

3 2

2

=

9

4

 …（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，考棱錐的體積，掌握線面平行與線面垂直的判定定理是解決問題的基礎，熟練掌握體積輪換公式是求幾何體體積常用的方法，屬于中檔題．