Question

給出下列四個命題：
①若ξ～B（4，0.25），則Eξ=1
②線性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²≤1成立的概率是

π

4

；
④函數y=log2(x2-ax+2)在[2，+∞)上恒為正，則實數a的取值范圍是(-∞，

5

2

)．
其中真命題個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①根據二項分別的期望公式可求Eξ=1．②根據線性相關系數r意義判斷．③利用幾何概型進行判斷．④利用復合函數的性質判斷．

解答：解：①若ξ～B（4，0.25），則Eξ=4×0.25=1，所以①正確．
②根據線性相關系數r意義可知線性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強，所以②正確．
③若a，b∈[0，1]，則a，b對應的平面區域為正方形，面積為1，不等式a²+b²≤1成立，對應的區域為半徑為1的圓在第一象限的部分，所以面積為

1

4

π，所以由幾何概型可知不等式a²+b²≤1成立的概率是

π 4

1

=

π

4

．所以③正確．
④因為函數y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，
所以在[2，+∞）上x²-ax+2＞1恒成立，即x²-ax+1＞0恒成立．
即a＜

1

x

+x：在[2，+∞）上恒成立，
設g(x)=

1

x

+x，則g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，因為x≥2，所以g'（x）＞0．
所以g（x）在[2，+∞）上為增函數，
所以：當x=2時，g（x）的最小值為g（2）=

5

2

．
所以a＜

5

2

，即實數a的取值范圍是(-∞，

5

2

)，所以④正確．
故選A．

點評：本題主要考查了各種命題的真假判斷，綜合性較強．