Question

已知數列{a_n}為等差數列，a₁=2，且其前10項和為65，又正項數列{b_n}滿足
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）比較b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求數列{b_n}的最大項；
（4）令c_n=lga_n，數列{c_n}是等比數列嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設{a_n}的公差為d，由題設條件得d=1，從而a_n=n+1，由此可得到．
（2）由題設條件知，，由此可知b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由題設猜想當n≥2時，，再通過導數證明猜想正確，從而得到數列{b_n}的最大項是．
（4）由題設條件知==c_n+1²，由此知{c_n}不是等比數列．
解答：解：（1）設{a_n}的公差為d
，則
且a₁=2，得d=1，從而a_n=n+1
故；
（2），

∴b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由（2）猜想{b_n+1}遞減，即猜想當n≥2時，

考察函數，當x＞e時lnx＞1
故在（e，+∞）上是減函數，而n+1≥3＞e
所以，即
于是猜想正確，因此，數列{b_n}的最大項是；
（4）{c_n}不是等比數列
由c_n=lga_n=lg（n+1）知

=
=lg²（n+2）
=c_n+1²
故{c_n}不是等比數列．
點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．