Question

已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*．用數學歸納法證明：．

Answer 1

【答案】分析：用數學歸納法證明分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=2時，左邊=右邊，第二步，先假設當n=k（k∈N^*，k＞1）時，不等式成立，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．
解答：證明：（1）當n=2時，左邊-右邊=，不等式成立．（2分）
（2）假設當n=k（k∈N^*，k＞1）時，不等式成立，即．（4分）
因為a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
當n=k+1時，．
即當n=k+1時，不等式也成立．（9分）
綜合（1），（2）知，對于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*，不等式總成立．
（11分）
點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立