Question

（08年雅禮中學一模理）(13分）   已知點

（Ⅰ）求f(x)的定義域；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：數列{a_n}前n項和

Answer 1

解析：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定義域為                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用數學歸納法證明：

①在n=1時，a₁=1，<a₁<2，則n=1時（*）式成立.

②假設n=k時成立，

由

要證明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1時恒成立.

只需證：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1時恒成立.

于是：

因此得證.

綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要證明：

由（2）可知只需證：

…………（**）

下面用分析法證明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需證：

即只需證：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需證：2n>1

而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）