Question

已知拋物線C：y²=4x，過點A（x，0）（其中x為常數，且x＞0）作直線l交拋物線于P，Q（點P在第一象限）；
（1）設點Q關于x軸的對稱點為D，直線DP交x軸于點B，求證：B為定點；
（2）若x=1，M₁，M₂，M₃為拋物線C上的三點，且△M₁M₂M₃的重心為A，求線段M₂M₃所在直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出直線PD的方程，令y=0，求出x，設l：y=k（x-x），代入拋物線方程，化簡即可得到結論；
（2）設：y=kx+m，代入拋物線方程，利用韋達定理及重心坐標，求出M₁的坐標，利用M₁在拋物線y²=4x上，即可求得結論．
解答：（1）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則D（x₂，-y₂），直線PD的方程為，
令y=0，x===，
設l：y=k（x-x），代入拋物線方程，得到ky²-4y-4kx=0，∴y₁y₂=-4x
∴x=x，即B（x，0）為定點；
（2）解：A（1，0），設：y=kx+m，M₁（x₁′，y₁′），M₂（x₂′，y₂′），M₃（x₃′，y₃′），M₂M₃中點E（x_E′，y_E′），
：y=kx+m代入拋物線方程，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴x₁′+x₂′=，
∴y₁′+y₂′=，
∴E（，），
∵2=，∴M₁（3-，-），
∵M₁在拋物線y²=4x上，
∴
∴3k²+2km=8，
又△＞0得16-16km＞0，∴km＜1，
∴2km=8-3k²＜2，
∴k²＞2，
∴或．
點評：本題考查直線恒過定點，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．