Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分別是棱BC，CC₁上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F為B₁C₁中點．求證：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直線A₁F∥平面ADE．
（3）若E為CC₁中點，且BA=BC=B B₁，求二面角E-AD-C．

Answer 1

分析：（1）依題意，可證AD⊥平面BCC₁B₁，再利用面面垂直的判定定理即可證得平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）A₁B₁=A₁C₁，F為B₁C₁的中點，可證A₁F⊥B₁C₁，進一步可證A₁F⊥平面BCC₁B₁；由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，從而A₁F∥AD，利用線面平行的判定定理即可證得結論；
（3）證明∠EDC就是二面角E-AD-C的平面角，即可得出結論．

解答：（1）證明：因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC．
又AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD． 
又因為AD⊥DE，CC₁，DE?平面BCC₁B₁，CC₁∩DE=E，
所以AD⊥平面BCC₁B₁．
又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁．
（2）證明：因為A₁B₁=A₁C₁，F為B₁C₁的中點，所以A₁F⊥B₁C₁．
因為CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁F，
又因為CC₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁F⊥平面BCC₁B₁．
由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD．
又AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，所以A₁F∥平面ADE；
（3）解：∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴∠EDC就是二面角E-AD-C的平面角．
∵BC=BB₁，E為CC₁中點，D為CB中點，
∴DC=EC，∴∠EDC=45°，
∴二面角E-AD-C的平面角是45°．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．