Question

已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R．
(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．

Answer 1

(1) 證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b. 由f(x)的單調性得f(a)≥f(－b) 又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a) 兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) (2) 逆命題成立，假設a＋b<0，那么，⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 這與已知矛盾，故只有a＋b≥0

解析試題分析：(1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.           2分
由已知f(x)的單調性得f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．         4分
兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．         6分
(2)逆命題：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.           8分
下面用反證法證之．
假設a＋b<0，那么：


⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．          10分
這與已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命題得證．          12分
考點：函數單調性與反證法
點評：單調性的定義：在定義域的某個區間上，若有則函數為增函數，若有則函數為減函數；反證法證明的大體步驟：假設要證明的結論反面成立，借此推出與已知或定理發生矛盾，推翻假設肯定原結論成立