Question

（必做題）先閱讀：如圖，設梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a，b（a＜b），高為h，求梯形的面積．
方法一：延長DA、CB交于點O，過點O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F，則EF=h．
設OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴

x

x+h

=

a

b

，即x=

ah

b-a

．
∴S_梯形ABCD=S_△ODC-S_△OAB=

1

2

b（x+h）-

1

2

ax=

1

2

（b-a）x+

1

2

bh=

1

2

（a+b）h．
方法二：作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN，過點A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ，則△AMP∽△ADQ．
設梯形AMNB的高為x，MN=y，

x

h

=

y-a

b-a

⇒y=a+

b-a

h

x，∴S梯形ABCD=

∫

h 0

（a+

b-a

h

x）dx=（ax+

b-a

2h

x²）

|

h 0

=ah+

b-a

2h

•h²=

1

2

（a+b）h．
再解下面的問題：
已知四棱臺ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S₁，S₂（S₁＜S₂），棱臺的高為h，類比以上兩種方法，分別求出棱臺的體積（棱錐的體積=

1

3

×底面積×高）．

Answer 1

分析：在平面幾何中的進行幾何性質類比推理時，我們常用的思路是：由平面幾何中線段的性質，類比推理平面幾何中面積的性質，再結合已知的梯形的面積的步驟，即可類比得到棱臺的體積．

解答：解：法一：將V_{四棱臺ABCD-A′B′C′D′}補為四棱錐V-ABCD，
設點V到面A′B′C′D′的距離為h′，面ABCD與面A′B′C′D′的距離為棱臺的高h，
∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，上、下底面的面積分別是S₁，S₂，
∴

s1

s2

=

h′2

(h+h′)2

，∴h′=

h s1

s2 - s1

；
∴V_{四棱臺ABCD-A′B′C′D′}=V_{四棱錐A′B′C′D′}-V_{四棱錐ABCD}
=

1

3

×S₂×（h+h′）-

1

3

×S₁×h′=

1

3

S₂h+

1

3

（S₂-S₁）h′=

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．
所以，四棱臺ABCD-A′B′C′D′的體積為

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．
法二：作一與上下底面平行的平面A^″B^″C^″D^″截得四邊形的面積為S，它與上底面的距離為x，
過棱A′D′作B′C′CB的平行于平面A′D′PQ，與A^″B^″、C^″D^″、AB、CD分別交于M、N、P、Q，
則△AMN∽△APQ，∴

x2

h2

=

S-S1

S2-S1

，∴S=S₁+

x2

h2

（S₂-S₁），
∴V_{四棱臺ABCD-A′B′C′D′}=

∫

h 0

[S₁+

x2

h2

（S₂-S₁）]dx
=[S₁x+

1

3

x3

h2

（S₂-S₁）]

|

h 0

=

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．
∴四棱臺ABCD-A′B′C′D′的體積為為

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．

點評：本題考查的知識點是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．