Question

（2010•西安八校聯考）已知正整數a、b滿足4a+b=30，則使得

1

a

+

1

b

取得最小值的有序數對（a，b）是（　　）

Answer 1

分析：已知4a+b=30，即

1

30

（4a+b）=1，將所求代數式乘以1，即乘以

1

30

（4a+b），展開后利用均值定理即可得其最小值，由均值定理等號成立的條件即可得a、b的值

解答：解：依題意得

1

a

+

1

b

=

1

30

（

1

a

+

1

b

）（4a+b）
=

1

30

（4+

b

a

+

4a

b

+1）≥

1

30

（5+2

b a × 4a b

）=

3

10

，
當且僅當

b

a

=

4a

b

時取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5，b=10時取等號．
∴使得

1

a

+

1

b

取得最小值的有序數對（a，b）是（5，10）
故選A

點評：本題考查了均值定理求函數最值的方法，條件不等式求最值時整體代換的方法和技巧，準確的運用條件并熟記均值定理成立的條件是解決本題的關鍵